quinta-feira, 25 de fevereiro de 2010

Funções Logarítmica e Exponencial

Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.


EXPOENTES IRRACIONAIS
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por



Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.

Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como



Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,

3,1415926

Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de isto é,

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159

e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:



Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.

Tabela

x
3 8,000000
3,1 8,574188
3,14 8,815241
3,141 8,821353
3,1415 8,824411
3,14159 8,824962
3,141592 8,824974



A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são

f (x) = , f (x) = , f (x) =

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.

Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.

DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X
A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula



é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então



sempre que e estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.

Seja y = . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como



Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos



Desta forma, pode ser escrito como





Exemplo

A partir de



Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de




OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.

http://www.somatematica.com.br/superior/logexp/logexp8.php
Seguindo a ordem natural dos artigos sobre Potenciação e Radiciação será abordado agora as equações exponenciais. Antes, será fornecida uma breve noção sobre o conceito e propriedades da função exponencial. Considera-se, também, como pré requisito para o entendimento deste artigo o conceito de função.
Com este artigo espero atender aos questionamentos, pertinentes ao assunto, colocados nos comentários dos artigos mencionados acima.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
a) Definição
Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:

Observações, Propriedades e Exemplos:
• A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;
• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
• Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
• Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
• No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
• Exemplos de funções exponenciais:

b) Teoremas

Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.
T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:

Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.
T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:

Demonstração:

Daqui, pelo teorema T1 temos:

T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

Demonstração:

Pelo teorema T1, vem que:

T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:

A demonstração deste teorema deixo para o leitor.
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

a) Definição
Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.
Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:
• Método de redução a uma base comum;
• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.
Trataremos neste artigo apenas do primeiro método. O segundo será visto em outro artigo sobre logaritmo.
b) Método de redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.
Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.
http://www.blogviche.com.br/2006/04/16/equacoes-exponenciais/