Funções Logarítmica e Exponencial
Quando os logaritmos foram introduzidos no século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta aplicação na matemática e na ciência.
EXPOENTES IRRACIONAIS
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão definidas por
Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão valores imaginários; por exemplo, . Para evitar esta complicação, vamos supor que , mesmo que não seja estabelecido explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais de b, tais como
Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por exemplo, para definir devemos começar com a representação decimal de , isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam cada vez mais próximos de isto é,
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:
Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite. A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade, tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b, podemos definir como o limite de potências racionais de b, criadas pela expansão decimal de p.
Tabela
x
3 8,000000
3,1 8,574188
3,14 8,815241
3,141 8,821353
3,1415 8,824411
3,14159 8,824962
3,141592 8,824974
A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma f (x) = , onde b > 0 e b 1, é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos são
f (x) = , f (x) = , f (x) =
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. Assim as funções tais como f (x) = e f (x) = não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b < 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas funções exponenciais específicas.
DERIVADAS DE POTÊNCIAS RACIONAIS DE X
A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula
é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então
sempre que e estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.
Seja y = . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como
Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos
Desta forma, pode ser escrito como
Exemplo
A partir de
Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de
OBSERVAÇÃO. Se b = 1, então a função é constante, uma vez que = = 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família das funções exponenciais.
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quinta-feira, 25 de fevereiro de 2010
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